수학 문제 푸는 습관

풀이를 보는 것과 푸는 것은 다르다

수학 공부에서 가장 흔한 착각은 해설을 읽고 이해했으니 풀 수 있다고 생각하는 것입니다. 해설을 따라가는 것은 누군가 닦아 놓은 길을 걷는 일이고, 혼자 푸는 것은 길이 없는 곳에서 방향을 정하는 일입니다. 시험이 요구하는 것은 뒤쪽입니다. 그래서 수학은 문제를 많이 '본' 사람보다 직접 막혀 보고 빠져나온 경험이 많은 사람이 잘하게 됩니다. 이 글의 습관들은 모두 그 경험을 늘리는 쪽으로 맞춰져 있습니다.

네 단계로 생각하기

수학자 조지 폴리아는 1945년에 낸 책 『어떻게 문제를 풀 것인가』에서 문제 풀이를 네 단계로 나눴습니다. 문제를 이해하고, 계획을 세우고, 계획을 실행하고, 풀이를 되돌아보는 것입니다. 많은 학생이 두 번째와 네 번째 단계를 건너뛰고 곧바로 계산에 들어갑니다. 무엇을 할지 정하지 않고 손부터 움직이면 길을 잃기 쉽고, 다 푼 뒤 돌아보지 않으면 같은 유형을 다음에 또 처음처럼 풀게 됩니다.

• 이해: 주어진 것과 구하는 것이 무엇인가
• 계획: 비슷한 문제를 본 적이 있는가, 어떤 개념을 쓸까
• 실행: 계획대로 한 줄씩 풀고 각 단계를 확인한다
• 되돌아보기: 답이 맞는가, 다른 방법은 없는가

조건부터 정리하기

문제를 읽으면 주어진 조건과 구해야 하는 것을 따로 적습니다. 문장 속에 흩어져 있던 정보가 한곳에 모이면 무엇이 빠져 있는지, 어떤 조건을 아직 쓰지 않았는지가 보입니다. 도형이나 상황이 나오는 문제는 직접 그림을 그리고 주어진 값을 그림 위에 적어 넣으세요. 풀다가 막혔을 때 아직 쓰지 않은 조건이 있다면 거기가 실마리일 가능성이 높습니다. 문제를 끝까지 읽지 않고 익숙한 유형이라고 판단해 풀기 시작하는 것도 흔한 실점 원인입니다.

막혔을 때 버티는 시간

막히자마자 해설을 펴면 생각하는 힘이 자랄 기회가 사라지고, 반대로 한 문제에 한 시간씩 매달리면 공부 전체가 멈춥니다. 그래서 미리 버틸 시간을 정해 두는 것이 좋습니다. 예를 들어 10~15분 동안은 해설 없이 시도하고, 그래도 안 되면 해설의 첫 줄만 보고 다시 혼자 이어 가는 식입니다. 막혀 있는 동안에는 작은 숫자를 넣어 보거나, 거꾸로 답에서 출발하거나, 조건 하나를 빼고 더 쉬운 문제로 바꿔 보는 방법을 써 볼 수 있습니다.

• 작은 수나 특별한 경우를 넣어 본다
• 구하는 것에서 거꾸로 생각한다
• 조건을 하나 빼서 쉬운 문제로 바꿔 본다
• 그림이나 표로 다시 나타낸다

풀이를 끝까지 쓰기

머릿속으로 몇 단계를 건너뛰면 빨라 보이지만, 실수는 대부분 건너뛴 곳에서 생깁니다. 풀이를 한 줄에 한 단계씩, 등호를 맞춰 정리해서 쓰면 나중에 어디서 틀렸는지 찾을 수 있습니다. 오답 노트에 '어느 단계에서 틀렸는가'를 적을 수 있는 것도 풀이가 남아 있을 때뿐입니다. 서술형 시험이라면 과정 자체가 점수가 되기도 합니다. 연습 때부터 남이 읽을 수 있는 풀이를 쓰는 습관을 들이세요.

답을 확인하는 법

답이 나오면 바로 다음 문제로 넘어가지 말고 짧게라도 확인합니다. 구한 값을 원래 조건에 다시 넣어 맞는지 보고, 단위가 맞는지, 길이나 개수처럼 음수가 될 수 없는 값이 음수로 나오지 않았는지 살핍니다. 대략의 크기를 어림해 보는 것도 좋은 방법입니다. 어림값과 계산값이 크게 다르면 어딘가에서 틀렸다는 신호입니다. 이 확인에 드는 시간은 짧지만, 시험에서 실수로 잃는 점수를 줄이는 데 가장 효과가 큽니다.

섞어서 풀고 다시 풀기

같은 단원의 문제만 연달아 풀면 어떤 개념을 쓸지 고민할 필요가 없어 잘 풀리는 것처럼 느껴집니다. 하지만 시험에서는 어느 단원의 문제인지 알려 주지 않습니다. 단원을 어느 정도 익혔다면 여러 단원의 문제를 섞어 풀며 어떤 방법을 쓸지 고르는 연습을 하세요. 그리고 해설을 보고 푼 문제는 반드시 표시해 두었다가 며칠 뒤 해설 없이 다시 풉니다. 그때 혼자 풀 수 있어야 그 문제를 푼 것입니다.

흔한 실수

가장 흔한 실수는 문제집을 몇 권 끝냈는지로 실력을 재는 것입니다. 해설을 보며 넘긴 문제가 많다면 권수는 아무 의미가 없습니다. 차라리 한 권을 여러 번, 틀린 문제 위주로 다시 푸는 편이 낫습니다. 또 계산 실수를 '실수니까 괜찮다'며 넘기는 것도 위험합니다. 같은 종류의 실수가 반복된다면 그것은 습관이고, 검산 방법을 정해 고쳐야 할 대상입니다.